Det är dags för final i din draftpod. Du har precis vunnit en jämn och lång match för att nå finalen, och har ingen aning om vad din motståndare spelar. Du drar dina sju kort och ser två tre-drop



två removal som kostar fyra och fem mana


tjockisen för sju mana som du just vann med


och så två länder


Du stirrar ned på den klassiska ”tvillinghanden”. Ska du hålla din hand eller ta en mulligan?

Svaret är såklart att det beror på. Det beror på hur många länder du spelar, hur färgerna på de två länderna på handen matchar de övriga korten på handen, om du börjar eller går tvåa, hur många två-drop du spelar, hur bra din lek är…

I den här artikeln hoppas jag kunna ge några matematiska förhållningsregler som underlättar framtida beslut. Några vägledande sannolikheter för att finna det du behöver för att kunna spela ut dina kort. Därmed inte sagt att man kan räkna ut det vinnande spelet, det är för beroende av vad motståndaren har.

Om vi börjar med handen i inledningen så kan vi ta det enkla fallet först, du vill dra ett land senast till tur tre. Vi spelar limited och antar att du följer den klassiska limitedlekens sammansättning av 40 kort varav 17 är länder. Därmed finns det nu 33 kort kvar i din lek varav 15 är länder. Ditt första drag ger dig således sannolikheten 15/33 att finna ett land och sannolikheten 18/33 på att inte dra ett land (det så kallade komplementfallet). Om du missar ger ditt andra drag dig sannolikheten 15/32 att hitta ett land och sannolikheten 17/32 för komplementfallet.
Sannolikheten för minst ett land på de två dragna korten är komplementet till fallet med noll land, det vill säga

P(minst ett land) = 1 – P(inga länder) = 1 – ([18/33]*[17/32]) = 1 – (18*17)/(33*32) = 0,71.

Om du går tvåa och alltså får dra ett kort mer till tur tre ökar sannolikheten till 1 – (18*17*16)/(33*32*31) = 0,85.
Generellt så kan vi stanna vid att modellera när vi börjar, och om vi är intresserade av fallet när vi går tvåa så lägger vi bara till en tur då vi ju drar ett kort mer. Dvs det är ekvivalent att finna ett visst kort till tur tre när man börjar som att finna det till tur två då man går tvåa.

Så om vi kan svara ja på frågan om det räcker för att vinna matchen att du kan lägga dina tredrop, så bör du nog hålla handen i exemplet. Du kommer dra minst ett land i över 70 % av fallen.

Vi kan såklart göra fallet lite krångligare, vad sägs om att vi har två Swamps istället och anser att vi måste dra ett av våra Forests. Eller att vi anser att vi behöver minst fyra länder till tur 5 för att vinna.

I fallet när vi måste dra ett specifikt land, så ändrar vi bara den övre delen av divisionen i vår tidigare formel för att reflektera detta. Om vi spelar 9 Forest och därmed efter att ha dragit starthanden har 24 kort som inte är Forest kvar i leken så får vi följaktligen:

P(minst en Forest tur tre) = 1 – (24*23)/(33*32) = 0,48

Nu kan vi studera skillnaden mellan att ha nio eller åtta av ett basic land i leken, har vi åtta istället för nio så får vi istället:

P(minst en Forest tur tre) = 1 – (25*24)/(33*32) = 0,43

Med ovan som exempel förstår vi också hur bra dubbelländer är, då de alltså ger oss (i det beräknade fallet) fem procentenheters större sannolikhet att träffa den färg vi behöver (vi tänker oss en 8-8-1 fördelning av länder istället för 8-9 fördelning).
Innan vi ger oss på fallet när vi vill ha fyra länder senast tur fem, dvs då vi måste dra två länder och har fyra drag på oss, så tänkte jag berätta att den fördelning som används för att modellera att dra kort ur en Magiclek (eller annan typ av kortlek för den delen) kallas för hypergeometrisk fördelning och har en sannolikhetsformel som i bilden nedan:





Där x är antalet lyckade försök, N populationens storlek, n antalet försök och m antalet träffar i populationen. I vårt fall är alltså N = 33 då det finns 33 kort kvar i leken och m var 15 i det första exemplet då vi ville ha vilket land som helst men nio i det andra då vi ville ha en Forest. Denna fördelning används vid all så kallad dragning utan återläggning, jämför t.ex. med binomialfördelningen som jag använde i den första delen av artikelserien då vi studerade dragning med återläggning. Där kan ni också läsa hur binomialkoefficienter beräknas.

Åter då till fallet när vi vill ha fyra länder, dvs dra två, till tur fem. Vi accepterar såklart att dra fyra eller tre länder också, varför vi återigen studerar komplementfallet. Vi vill undersöka vad 1 - P(dra ett eller noll land på fyra drag) = 1 – P(dra noll land) – P(dra ett land) är. Att visa denna beräkning här skulle nog upplevas som att drunkna i parentestecken, varför jag avslöjar att
P(noll land) = 0,07
P(ett land) = 0,3
Och alltså P(två eller fler länder) = 1- 0,37 = 0,63
Som alltså är sannolikheten att dra minst två länder tur fem*.

När vi nu har en färdig formel kan vi också svara på sannolikheten att lyckas dra ett specifikt kort. Låt oss exemplifiera med den bombigaste limitedbomben någonsin, Umezawa's Jitte. För att finna sannolikheten att dra den senast tur fyra (då kan vi lägga ut och equippa den direkt för maximal effekt) sätter vi bara N = 40, n = 10, m = 1 och såklart x = 1, för vi öppnade bara en. Då ger formeln att

P(Jitte tur fyra) = 0,25.

Föga förvånande, finns det ett kort i leken vi är intresserade av och vi ser 1/4 av vår lek borde vi se det kortet med P = 1/4 = 0,25.**

Och som avslutning tycker jag vi trots min inledning skall göra ett litet inhopp i Constructed och undersöka frågan om hur många kort som är att rekommendera i en sideboard.




Låt oss anta att vi vill dra minst ett brädkort till vår starthand. Exempelvis Leyline of the Void när vi möter Dredge. Vi kan nu använda formeln ovan med N = 60, n = 7, x = 1 och m får variera mellan ett och fyra.

• Om vi då har en Leyline i brädan drar vi den i 12 % av fallen
• Har vi två Leyline drar vi minst en i 22 % av fallen
• Med tre Leyline hittar vi minst en i 32 % av alla starthänder
• Och har vi fullt paket hittar vi minst en med 40 % sannolikhet

Vi kan såklart tänka oss fyra Leyline och ett antal Rest in Peace också så att m kan bli större än fyra, då kan vi få

• Med fem brädkort hittar vi ett på starthanden med 47 % sannolikhet
• Med sex stiger sannolikheten till 54 %
• Och med sju förväntar vi oss minst ett av de inbrädade korten på 60 % av alla starthänder
• …
• Med maximala femton brädkort skulle vi finna minst ett med en sannolikhet på 88 %

Hoppas ni i och med denna artikel blir mindre upprörda när ni stannar på två länder, det är ju trots allt inte ens var tredje gång det blir så. Därmed tänkte jag avsluta denna artikelserie om matematik och MtG, tack för att ni läste***.


*: Jag lutar åt att exempelhanden är en keep, då vi har goda chanser att kunna spela ut de flesta av våra spells redan tur fyra och vi har skydd mot flood i form av vår dyra bomb. Men det är såklart beroende på en mängd andra variabler. Generellt vill jag chansa mer med mina dåliga lekar som är beroende av att kurva ut och mulla mer med mina bra lekar. Därmed mullar jag mycket oftare i Constructed, där ju alla lekar är bra.
**: Ett i mitt tycke bra exempel på användning av kombinatorikens huvudsats: ”Om man beräknar samma sak med två olika metoder får man samma svar”.
***: Vill du räkna ut ett case själv och inte orkar använda papper och penna eller Excel? Då kan jag tipsa om https://stattrek.com/online-calculator/hypergeometric.aspx